比例和比例積分控制規律

控制器的基本控制規律有比例（P)、積分（I)、微分（D)三種。這三種控制規律各有特點，但實際上，除了比例控制規律外，單純的積分控制和微分控制規律都不能用來控制生產過程。因此，工程上常用的控制規律是比例（P)、比例積分（PI)、比例微分（PD) 以及比例積分微分（PID)控制規律，由此產生相應的4種常用控制器。

1.比例控制規律

只具有比例控制規律的控制器為比例控制器，其輸出與輸入成比例關系，即

式中，KP比例放大倍數，或稱比例增益。

階躍響應特性如圖3-2所示。

(1)比例增益和比例度

比例增益KP反映比例作用的強弱，KP越大，比例作用越強，即在一定的輸入量X下，控制器輸出的變化量越大，控制作用越強，反之亦然。在模擬控制器中，比例作用的強弱是用KP的倒數——比例度進行刻度的，δ與KP的關系表示如下。

但上式中的“％” 一般不在比例度盤上刻出來。

由式（3-2)、式（3-3)和式（3-4)可得比例度的一般表達式

式中，X2-X1表示輸入信號的變化量；Y2-Y1表示相應的輸出信號變化量；Xmax-Xmin表示輸入信號范圍；Ymax-Ymin表示輸出信號范圍。

由式（3-5)可定義比例度為：控制器的輸入變化量相對于輸入信號范圍，占相應的輸出變化量相對于輸出信號范圍的百分數。對于輸入信號范圍與輸出信號范圍相同的控制儀表或裝置，式（3-5)可改寫為

(2)比例控制規律的特點

對于比例作用的控制器來說，只要有偏差輸入，其輸出立即按比例變化，因此這種按比例動作的控制器對于干擾的影響能產生及時而有力的抑制作用，但只具有比例控制規律的系 、統，當被控量受擾動影響而偏離給定值后，控制器的輸出必定要發生變化。而在系統達到新的穩態以后，為了克服擾動的影響，控制器的輸出不是原來的數值。由于控制器的輸出與偏差成比例關系，被控變量也就不可能回到原來的數值上，即存在殘余偏差——余差。

余差是比例控制器應用方面的一個缺點，在控制器的輸出變化量相同情況下，KP越大，即比例度δ越小，余差也越小。但是，若KP過分大，系統容易振蕩，甚至發散。此外，余差的大小還與擾動的幅值有關，若為階躍擾動，其幅值越大，在相同KP下，余差也越大。由于負荷的變化通常是系統的一種擾動，因此比例控制器一般適用于負荷變化不大，允許有余差的系統。

2.比例積分控制規律

比例控制器的缺點是有余差。若要求控制系統無余差，就得增加積分控制規律(即積分作用）。

(1)積分作用

積分作用的輸出與偏差對時間的積分稱比例關系，即

式中，T1表示積分時間。

上式表明，只要控制器輸入（偏差）存在，積分作用的輸出就會隨時間不斷變化，只有當偏差等于零時，輸出才穩定不變，圖3-3可以更加清楚說明這一點。這表明積分作用具有消除余差的能力，對一個很小的偏差，雖然在很短的時間內，積分作用的輸出變化很小，還不足以消除偏差，然而經過一定時間 積分作用的輸出總可以增大到足以消除偏差的程度。

由于積分作用的輸出與時間的長短有關。在一定偏差作用下，積分作用的輸出隨時間延長而增加，因此積分作用具有“慢慢來”的特點，由于這一特點即使有一個較大的偏差存在， 但一開始積分作用的輸出總是比較小的，即一開始控制作用太弱，從而造成控制不及時，因而積分作用一般不單獨使用，而是與比例作用一起組成具有比例積分控制規律的控制器。

(2)比例積分控制規律

具有比例積分控制規律的控制器稱為比例積分控制器，其特性為

從上式可以看出，比例積分控制器的輸出可以表示成比例與積分兩種作用的輸出之和。

在階躍信號輸入時，比例積分控制器的輸出變化如圖 3-4所示。在加入階躍信號瞬間，輸出跳躍上去（AB段所示），這時比例作用，以后呈線性增加（BD段所示）， 這時積分作用。

(3)積分時間T1

積分時間T1反映積分作用的強弱，T1越小，積分作用越強，即在一定的輸入量義及相等的時間條件下，控制器輸出的變化量越大，控制作用越強，反之亦然。

在階躍信號輸入幅值為A時，積分作用輸出為

若取積分作用的輸出Y1等于比例作用的輸出YP，即

則T1=At。因此積分時間的定義為：在階躍信號輸入下，積分作用的輸出變化到等于例作用的輸出所經歷的時間就是積分時間T1。

積分時間的基本測定方法是：從給PI控制器（若是PID控制器，預先去除微分作用)加入一適當幅度的階躍信號開始，到積分作用的輸出（圖3-4中的CD)變化到等于比例作用的輸出（圖3-4中AB)為止，這段時間t就是實際積分時間T1。

(4)控制點、控制點偏差與控制精度

對于具有積分作用的控制器，當測量值等于給定值時， 其輸出可以穩定在任一值上，控制器的這種性能，稱為控制點，這一概念可用圖3-5來說明。

比例積分控制器，當輸入為兩個幅值相等寬度不同的方波信號時，其輸出相應如圖3-5所示。由圖可見，當方波信號結束后，控制器的輸出穩定在不同值上，寬度大的方波信號（如圖中虛線所示）結束后的輸出穩定值大。

由于控制器的開環增益為有限值等原因，當具有積分作用的控制器的輸出穩定不變時，測量值與給定值之間不可能完全相等，將存在著微小偏差，這種偏差稱控制點偏差。

最大控制點偏差占輸入信號范圍的百分數稱為控制精度，或稱調節精度，即

控制精度是具有積分作用控制器的一項重要技術指標，它表征控制器減小余差的能力。. 顯然精度越高，該控制器減小余差的能力越強。穩態時，測定值與給定值之間的偏差越小。

(5)積分增益與開環放大倍數

由于開環增益不可能為無窮大，因此具有積分作用的控制器有偏差輸入時，其積分作用也不可能無限地繼續下去，在控制器開環增益為有限值時，實際PI控制器的傳遞函數為

式中，K1表示積分增益。

在階躍輸入A的作用下，即

則

利用始值定理可以求得控制器在接受階躍輸入瞬間的輸出變化量Y(0)為

將式（3-10)代入上式，可得

利用終值定理可以求得穩態時控制器輸出的變化量Y(∞)為

將式（3-10)代入上式，可得

同時將式（3-10)拉氏反變換后可得知階躍信號輸入下，控制器輸出隨時間變化的表達式為

由上式可得到實際PI控制器階躍響應曲線如圖3-6所示。由圖可見階躍響應曲線呈飽和特性，并非理想的積分過程。

將式（3-12)與式（3-11)相除可得積分增益為

由上式積分增益定義為：在適當幅度的階躍輸入下， 實際比例積分控制器輸出的最終變化量與初始變化量的比值，就是積分增益。

由式（3-12)可得

當最終變化量Y(∞)和比例增益KP—定時，積分增益K1越大時，余差越小，控制精度越高。

式（3-15)中，A是控制器的輸入偏差，Y(∞)是控制器輸出變化量，因此控制器的開環放大倍數Kop為

當控制器的輸出作全范圍變化時，對應的輸入偏差值為最大值，此時式（3-15)可改為

對照式（3-8)可以看出，式（3-17)就是表明了控制器的控制精度。由上式可得到控制器的最大偏差為

必須指出，影響實際PI控制器控制精度的因素除積分增益K1與比例增益KP以外，還有給定值的精度和穩定性、放大器的零點漂移、電源電壓或氣源壓力的波動等；對氣動PI控制器而言，則還與比較元件參數的對稱程度等因素有關。

(6)積分飽和

具有積分作用的控制器在單方向偏差信號的作用下，其輸出達到輸出范圍上限值或下限值以后，積分作用將繼續進行，從而使控制器脫離正常工作狀態，這種現象稱為積分飽和。

積分飽和現象在控制系統中是十分有害的，其影響可用圖 3-7所示，由圖可見，如果控制器處于積分飽和狀態，當偏差反向時，控制器輸出不能及時改變，需要經過一段時間，即要到積分作用部分回復到正常工作狀態以后才能對偏差做出正確的反應。這段等待時間使控制器暫時喪失了控制功能，從而造成了控制不及時，使控制品質變壞，甚至危及安全。

防止積分飽和的方法通常有兩種：

①在控制器輸出達到輸出范圍上限值或下限值時，暫時去掉積分作用；

②在控制器輸出達到輸出范圍上限值或下限值時，使積分作用輸出不繼續增加。